Au lycée, en début de 1ère, nous apprenons à résoudre des équations du 2nd degré, mais ne voyons pas, ou très rapidement, comment résoudre des équations du 3ème degré, de la forme a⋅x3+b⋅x2+c⋅x+d=0a⋅x3+b⋅x2+c⋅x+d=0.

Le but de cet article est donc de vous montrer la démonstration permettant d'arriver à trouver les racines des polynômes de ce type. Pour se faire, nous aurons besoin de mêler 2 méthodes :

• la méthode de Cardan
• la méthode de Tschirnhaus

Sommaire

1 La méthode de Cardan

2 La démonstration avec la méthode de Tschirnhaus

La méthode de Cardan

La méthode de Cardan est un algorithme permettant de résoudre les équations polynomiales dépréciées de degré 3 du type x3+cx+d=0x3+cx+d=0. Le but est donc de trouver une formule qui permettrait de résoudre des équations de ce type pour n'importe quelle valeur de cc et dd.

Pour cela, posons x=u+vx=u+v ce qui nous donne :

⇒⇒(u+v)3+c(u+v)+d=0u3+v3+3u2v+3uv2+uc+vc=−du3+v3+(u+v)(3uv+c)=−d(u+v)3+c(u+v)+d=0⇒u3+v3+3u2v+3uv2+uc+vc=−d⇒u3+v3+(u+v)(3uv+c)=−d

Ensuite, prenons uu et vv tels que uv=−c3uv=−c3. Dans ce cas, on obtient :

{u3+v3=−d(uv)3=u3v3=(−c3)3=−c27{u3+v3=−d(uv)3=u3v3=(−c3)3=−c27

Posons U=u3U=u3 et V=v3V=v3, solutions de l'équation :

⇒⇒(x−U)(x−V)=0x2−(U+V)x+UV=0x2+dx−c327=0(x−U)(x−V)=0⇒x2−(U+V)x+UV=0⇒x2+dx−c327=0

Résolvons cette équation du 2^e degré pour trouver les valeurs de UU et VV :

Δ=d2+4c327U=−d−Δ−−√2V=−d+Δ−−√2Δ=d2+4c327U=−d−Δ2V=−d+Δ2

Comme x=u+v=U−−√3+V−−√3x=u+v=U3+V3,

x=−d−Δ−−√2−−−−−−−−−√3+−d+Δ−−√2−−−−−−−−−√3x=−d−Δ23+−d+Δ23

L'algorithme est fini. Nous venons de trouver la formule permettant de calculer une racine de n'importe quel polynôme du 3^e degré sous la forme f(x)=x3+c⋅x+df(x)=x3+c⋅x+d.

La démonstration avec la méthode de Tschirnhaus

Maintenant que nous avons compris comment fonctionne la méthode de Cardan, passons à la démonstration et considérons le polynôme f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax3+bx2+cx+d.

Nous cherchons une formule pour calculer les racines de f(x)f(x) au nombre de 3 car le polynôme est de degré 3. Nous les noterons x1x1, x2x2 et x3x3.

Ici, la méthode de Cardan ne peut pas s'appliquer directement sur f(x)f(x). Il nous faut d'abord déprécier le polynôme pour qu'il soit du type x3+cx+dx3+cx+d, et cela grâce à la méthode de Tschirnhaus.

Commençons par poser x=t−b3ax=t−b3a et résolvons f(x)=0f(x)=0 :

⇒⇒⇒⇒a(t−b3a)3+b(t−b3a)2+c(t−b3a)+d=0(t−b3a)3+ba(t−b3a)2+ca(t−b3a)+da=0(t3−3b3at2+3b29a2t−b327a3)+ba(t2−2b3at+b29a2)+ca(t−b3a)+da=0t3−bat2+b23a2t−b327a3+bat2−2b23a2t+b39a3+cat−bc3a2+da=0t3+(b23a2−2b23a2+ca)t+(b39a3−b327a3−bc3a2)=0a(t−b3a)3+b(t−b3a)2+c(t−b3a)+d=0⇒(t−b3a)3+ba(t−b3a)2+ca(t−b3a)+da=0⇒(t3−3b3at2+3b29a2t−b327a3)+ba(t2−2b3at+b29a2)+ca(t−b3a)+da=0⇒t3−bat2+b23a2t−b327a3+bat2−2b23a2t+b39a3+cat−bc3a2+da=0⇒t3+(b23a2−2b23a2+ca)t+(b39a3−b327a3−bc3a2)=0

Nous obtenons une équation de la forme t3+pt+q=0t3+pt+q=0 où :

p=3ac−b23a2q=2b3−9abc+27a2d27a3p=3ac−b23a2q=2b3−9abc+27a2d27a3

Nous pouvons maintenant résoudre cette équation en utilisant la méthode de Cardan, ce qui nous donne :

Δ1=q2+4p327t=−q−Δ1−−−√2−−−−−−−−−√3+−q+Δ1−−−√2−−−−−−−−−√3Δ1=q2+4p327t=−q−Δ123+−q+Δ123

Comme x=t−b3ax=t−b3a, nous obtenons la valeur de xx ou plutôt x1x1 (1^ère des 3 racines de f(x)f(x)) :

x1=−q−Δ1−−−√2−−−−−−−−−√3+−q+Δ1−−−√2−−−−−−−−−√3−b3ax1=−q−Δ123+−q+Δ123−b3a

Puisque nous connaissons maintenant la 1^ère racine de f(x)f(x), nous pouvons écrire cette fonction sous la forme f(x)=(x−x1)(a′x2+b′x+c′)f(x)=(x−x1)(a′x2+b′x+c′).

Comme f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax3+bx2+cx+d, nous pouvons identifier les valeurs de a′a′, b′b′ et c′c′ en posant :

(x−x1)(a′x2+b′x+c′)=ax3+bx2+cx+da′x3+(b′−a′x1)x2+(c′−b′x1)x−c′x1=ax3+bx2+cx+d(x−x1)(a′x2+b′x+c′)=ax3+bx2+cx+da′x3+(b′−a′x1)x2+(c′−b′x1)x−c′x1=ax3+bx2+cx+d

nous donnant le système suivant :

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a′=ab′−a′x1=bc′−b′x1=c−c′x1=d{a′=ab′−a′x1=bc′−b′x1=c−c′x1=d

et nous permettant d'en déduire que

⎧⎩⎨a′=ab′=b+ax1c′=c+(b+ax1)x1{a′=ab′=b+ax1c′=c+(b+ax1)x1

Par conséquent, f(x)=(x−x1)(ax2+(b+ax1)x+(c+(b+ax1)x1))f(x)=(x−x1)(ax2+(b+ax1)x+(c+(b+ax1)x1)) et il nous est ainsi possible de trouver les valeurs de x2x2 et x3x3 en résolvant l'équation du 2^e degré :

ax2+(b+ax1)x+(c+(b+ax1)x1)=0ax2+(b+ax1)x+(c+(b+ax1)x1)=0

Donnant :

Δ2=(b+ax1)2−4a(c+(b+ax1)x1)x2=−b−ax1−Δ2−−−√2ax3=−b−ax1+Δ2−−−√2aΔ2=(b+ax1)2−4a(c+(b+ax1)x1)x2=−b−ax1−Δ22ax3=−b−ax1+Δ22a

La démonstration est finie ! Nous venons de trouver la formule qui permet d'obtenir les 3 racines d'un polynôme du 3^e degré.

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